MATRIKS LANJUTAN I

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Jika $A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$ maka determinan A adalah:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Jika $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ maka determinan A adalah:

= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi

Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:

1. Determinan A = Determinan AT

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar

3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ (2.1) & (2.3) & (2.4) \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.

$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3[(1.2) - (2.1)] = 0$

5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} = (1.6.2) = 12$

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti $A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$ dapat dirumuskan sebagai:

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:

AA-1 = A-1A = I
(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1A-1
Jika AX = B, maka X = A-1B
Jika XA = B, maka X = BA-1

Search This Blog

Matematika